Titel
Randwertprobleme für den de Rham Komplex
Zusammenfassung
Sei M eine kompakte orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Rand. Auf M sei eine Differentialform η und auf ∂M eine Differentialform χ gegeben. Es stellt sich nun die Frage, ob es eine Differentialform ω auf M gibt, so daß die äußere Ableitung von ω gleich η und die Einschränkung von ω auf ∂M gleich χ ist. Im Falle der Existenz eines solchen ω ist es interessant, danach zu fragen, ob dieses ω eindeutig ist, und welche Eigenschaften es besitzt.
Es muß insbesondere untersucht werden, unter welchen Voraussetzungen diese Fragestellung überhaupt sinnvoll ist. Für C∞-Formen treten keine Probleme auf. Falls ω aber etwa eine L2-Form ist, kann unter Umständen die äußere Ableitung von ω nicht mehr sinnvoll definiert werden, und auch eine Einschränkung von ω auf den Rand ist nicht möglich, da ∂M eine L2-Nullmenge bezüglich M ist.
Es stellt sich nun aber heraus, daß auf dem Definitionsbereich der maximalen abgeschlossenen Fortsetzung bezüglich L2 der äußeren Ableitung ein Einschränkungsoperator von Differentialformen über M auf Differentialformen über ∂M definiert werden kann. Damit kann das obige Problem auf einer sehr großen Klasse von Differentialformen formuliert werden.
Ausgehend vom glatten Fall - das heißt, daß alle auftretenden Differentialformen als C∞ angenommen werden - ergeben sich in der allgemeinen Formulierung des obigen Problems etliche Schwierigkeiten, die hauptsächlich darauf beruhen, daß es keineswegs offensichtlich ist, ob Eigenschaften der äußeren Ableitung (zum Beispiel die Vertauschbarkeit mit der Einschränkung einer Differentialform auf den Rand von M) für ihre abgeschlossenen Fortsetzungen weiterhin gelten, und daß bei Betrachtungen von Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten mit Rand gewisse Instrumente der Analysis (etwa die Regularität eines elliptischen Differentialoperators) am Rand nicht angewandt werden können.
